🏋️ Trening 12: Mistrzostwo Pierwiastków (Mix Działań)
Zaczynamy od prostego dodawania, przechodzimy przez działania pod pierwiastkiem, a kończymy na potężnych ułamkach i mnożeniu. 30 zadań, które zrobią z Ciebie eksperta!
Zadanie 1
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{25} + \sqrt[3]{8} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 5 + 2 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 7 \]
Trik: Obliczamy każdy pierwiastek z osobna i dodajemy.
Zadanie 2
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{100} - \sqrt{49} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 10 - 7 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 3 \]
Trik: Pamiętaj: najpierw pierwiastkujesz, potem odejmujesz.
Zadanie 3
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{27} + \sqrt{16} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 3 + 4 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 7 \]
Trik: Pierwiastek sześcienny z 27 to 3. Pierwiastek kwadratowy z 16 to 4.
Zadanie 4
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{125} - \sqrt[3]{64} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 5 - 4 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 1 \]
Trik: Wyciągamy pierwiastki sześcienne i odejmujemy wyniki.
Zadanie 5
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{81} + \sqrt{121} + \sqrt[3]{1000} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 9 + 11 + 10 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 30 \]
Trik: Trzy pierwiastki to żaden problem!
Zadanie 6
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{144} - \sqrt[3]{-27} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 12 - (-3) \]
Ostateczny wynik:
\[ = 15 \]
Trik: Dwa minusy dają plus! Pierwiastek z liczby ujemnej może istnieć, jeśli jest nieparzystego stopnia (np. trzeciego).
Zadanie 7
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{9 + 16} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{25} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 5 \]
Trik: UWAGA: Nie wolno rozbijać dodawania na dwa pierwiastki! Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem, potem wyciągamy.
Zadanie 8
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{100 - 36} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{64} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 8 \]
Trik: Tak samo jak przy dodawaniu - najpierw musimy wykonać odejmowanie.
Zadanie 9
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{20 + 7} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt[3]{27} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 3 \]
Trik: Dodajemy pod pierwiastkiem sześciennym.
Zadanie 10
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{10^2 + 25} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt[3]{100 + 25} = \sqrt[3]{125} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 5 \]
Trik: Najpierw potęgujemy, potem dodajemy.
Zadanie 11
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{5^2 - 4^2} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 3 \]
Trik: Wyliczamy potęgi, odejmujemy i pierwiastkujemy wynik.
Zadanie 12
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{11^2 + 4} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt[3]{121 + 4} = \sqrt[3]{125} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 5 \]
Trik: 11 do kwadratu to 121.
Zadanie 13
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{15^2} + \sqrt[3]{10^3} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 15 + 10 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 25 \]
Trik: Kwadrat idealnie "znosi" się z pierwiastkiem kwadratowym, a sześcian z sześciennym.
Zadanie 14
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{7^2} - \sqrt[3]{(-4)^3} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 7 - (-4) \]
Ostateczny wynik:
\[ = 11 \]
Trik: Potęga nieparzysta pozwala przetrwać minusowi. 7 + 4 = 11.
Zadanie 15
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{6^3} + \sqrt{(-8)^2} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 6 + \sqrt{64} = 6 + 8 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 14 \]
Trik: Kwadrat liczby ujemnej (-8) niszczy jej minus!
Zadanie 16
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{13^2} + \sqrt[3]{5^3} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = 13 + 5 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 18 \]
Trik: Znosimy potęgi z pierwiastkami.
Zadanie 17
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{(-5)^2} - \sqrt{4^2} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{25} - 4 = 5 - 4 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 1 \]
Trik: Pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik dodatni (tzw. wartość bezwzględną).
Zadanie 18
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{(-2)^3} + \sqrt[3]{2^3} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = -2 + 2 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 0 \]
Trik: Jeden wyraz na minusie, drugi na plusie. Wynik to 0.
Zadanie 19
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 4 \]
Trik: Dwa "brzydkie" pierwiastki pomnożone przez siebie dają ładną liczbę!
Zadanie 20
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 9 \]
Trik: Mnożymy zawartość pod jednym, dużym pierwiastkiem.
Zadanie 21
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 2 \]
Trik: Zasada działa tak samo dla pierwiastków sześciennych.
Zadanie 22
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} + \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{100} + \sqrt[3]{125} = 10 + 5 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 15 \]
Trik: Łączymy parami: najpierw kwadratowe, potem sześcienne.
Zadanie 23
\[ \text{Oblicz: } \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + 3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{36} + 3 \cdot \sqrt[3]{27} = 6 + 3 \cdot 3 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 15 \]
Trik: Trójka przed pierwiastkiem grzecznie czeka na wymnożenie.
Zadanie 24
\[ \text{Oblicz: } 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 6 \cdot 5 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 30 \]
Trik: Liczby przed znakiem mnożymy ze sobą, a pierwiastki ze sobą. \sqrt{5} razy \sqrt{5} to po prostu 5!
Zadanie 25
\[ \text{Oblicz: } \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{50 : 2} = \sqrt{25} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 5 \]
Trik: Dzielenie pozwala na wsadzenie ułamka pod jeden wspólny pierwiastek.
Zadanie 26
\[ \text{Oblicz: } \frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt[3]{250 : 2} = \sqrt[3]{125} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 5 \]
Trik: Pod wspólnym pierwiastkiem dzielimy 250 przez 2.
Zadanie 27
\[ \text{Oblicz: } \frac{\sqrt{75} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} + 2 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 7 \]
Trik: Możemy podzielić (rozbić) ułamek na dwa osobne składniki. Obydwa dzielimy przez \sqrt{3}.
Zadanie 28
\[ \text{Oblicz: } \frac{\sqrt{48} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{16} - \sqrt{4} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 4 - 2 = 2 \]
Trik: Dzielimy każdy element licznika osobno.
Zadanie 29
\[ \text{Oblicz: } \frac{\sqrt{200} + \sqrt{50}}{\sqrt{2}} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt{\frac{200}{2}} + \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{100} + \sqrt{25} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 10 + 5 = 15 \]
Trik: Tak samo jak w poprzednich - dzielimy i wyciągamy ładne liczby.
Zadanie 30
\[ \text{Oblicz: } \frac{\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} \]
Pokaż rozwiązanie
Rozpisujemy:
\[ = \sqrt[3]{\frac{81}{3}} - \sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} \]
Ostateczny wynik:
\[ = 3 - 2 = 1 \]
Trik: Działa też bezbłędnie dla pierwiastków sześciennych!