鈿旓笍 Trening 11: U艂amkowe Starcie Pot臋g
Zanim zaczniesz mno偶y膰 wielkie liczby, zamie艅 mianowniki na pot臋gi! Nast臋pnie skr贸膰 u艂amki korzystaj膮c z zasad odejmowania wyk艂adnik贸w.
Przyk艂ad 1
\[ \text{Oblicz: } \frac{5^6}{16} \cdot \frac{2^7}{125} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{5^6}{2^4} \cdot \frac{2^7}{5^3} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 5^{6-3} \cdot 2^{7-4} = 5^3 \cdot 2^3 \]
Wynik:
\[ = 125 \cdot 8 = 1000 \]
Wskaz贸wka: Zamieniamy 16 na 2^4, a 125 na 5^3. Skracamy pot臋gi o tych samych podstawach (5 i 2) odejmuj膮c wyk艂adniki.
Przyk艂ad 2
\[ \text{Oblicz: } \frac{3^4}{25} \cdot \frac{5^3}{27} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{3^4}{5^2} \cdot \frac{5^3}{3^3} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 3^{4-3} \cdot 5^{3-2} = 3^1 \cdot 5^1 \]
Wynik:
\[ = 3 \cdot 5 = 15 \]
Wskaz贸wka: Zamieniamy 25 na 5^2 oraz 27 na 3^3. Skracamy i zostaj膮 nam same podstawy do pot臋gi pierwszej.
Przyk艂ad 3
\[ \text{Oblicz: } \frac{2^8}{81} \cdot \frac{3^5}{64} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{2^8}{3^4} \cdot \frac{3^5}{2^6} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 2^{8-6} \cdot 3^{5-4} = 2^2 \cdot 3^1 \]
Wynik:
\[ = 4 \cdot 3 = 12 \]
Wskaz贸wka: 81 to 3^4, a 64 to 2^6. Po skr贸ceniu zostaje nam kwadrat dw贸jki pomno偶ony przez tr贸jk臋.
Przyk艂ad 4
\[ \text{Oblicz: } \frac{7^3}{8} \cdot \frac{2^5}{49} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{7^3}{2^3} \cdot \frac{2^5}{7^2} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 7^{3-2} \cdot 2^{5-3} = 7^1 \cdot 2^2 \]
Wynik:
\[ = 7 \cdot 4 = 28 \]
Wskaz贸wka: 8 to 2^3, a 49 to 7^2. Z si贸demek zostaje 7^1, a z dw贸jek 2^2.
Przyk艂ad 5
\[ \text{Oblicz: } \frac{10^5}{9} \cdot \frac{3^3}{1000} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{10^5}{3^2} \cdot \frac{3^3}{10^3} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 10^{5-3} \cdot 3^{3-2} = 10^2 \cdot 3^1 \]
Wynik:
\[ = 100 \cdot 3 = 300 \]
Wskaz贸wka: 9 to 3^2, a 1000 to 10^3. Odejmujemy wyk艂adniki dla dziesi膮tek i tr贸jek.
Przyk艂ad 6
\[ \text{Oblicz: } \frac{4^3}{125} \cdot \frac{5^4}{16} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{4^3}{5^3} \cdot \frac{5^4}{4^2} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 4^{3-2} \cdot 5^{4-3} = 4^1 \cdot 5^1 \]
Wynik:
\[ = 4 \cdot 5 = 20 \]
Wskaz贸wka: Wystarczy zauwa偶y膰, 偶e 16 to 4^2. Nie musisz zamienia膰 czw贸rki na dw贸jk臋, je艣li nie masz takiej potrzeby!
Przyk艂ad 7
\[ \text{Oblicz: } \frac{6^4}{49} \cdot \frac{7^3}{36} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{6^4}{7^2} \cdot \frac{7^3}{6^2} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 6^{4-2} \cdot 7^{3-2} = 6^2 \cdot 7^1 \]
Wynik:
\[ = 36 \cdot 7 = 252 \]
Wskaz贸wka: 49 to 7^2, a 36 to 6^2. Skracamy i musimy pomno偶y膰 36 przez 7.
Przyk艂ad 8
\[ \text{Oblicz: } \frac{2^6}{27} \cdot \frac{3^4}{32} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{2^6}{3^3} \cdot \frac{3^4}{2^5} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 2^{6-5} \cdot 3^{4-3} = 2^1 \cdot 3^1 \]
Wynik:
\[ = 2 \cdot 3 = 6 \]
Wskaz贸wka: 27 to 3^3, a 32 to 2^5. Bardzo r贸wne skracanie!
Przyk艂ad 9
\[ \text{Oblicz: } \frac{5^5}{81} \cdot \frac{9^3}{25} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{5^5}{9^2} \cdot \frac{9^3}{5^2} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 5^{5-2} \cdot 9^{3-2} = 5^3 \cdot 9^1 \]
Wynik:
\[ = 125 \cdot 9 = 1125 \]
Wskaz贸wka: 81 to 9^2 (lub 3^4, ale dziewi膮tka jest tu szybsza w rachunkach). Po skr贸ceniu zostaje 5^3 (125) i 9^1.
Przyk艂ad 10
\[ \text{Oblicz: } \frac{11^3}{16} \cdot \frac{2^6}{121} \]
Krok 1: Zamiana mianownik贸w na pot臋gi
\[ = \frac{11^3}{2^4} \cdot \frac{2^6}{11^2} \]
Krok 2: Skracanie u艂amk贸w (odejmowanie wyk艂adnik贸w)
\[ = 11^{3-2} \cdot 2^{6-4} = 11^1 \cdot 2^2 \]
Wynik:
\[ = 11 \cdot 4 = 44 \]
Wskaz贸wka: 121 to s艂ynne 11^2. 16 to 2^4. Wynik skraca si臋 do bardzo przyjaznych liczb.