Zadania z Matematyki

📚 Teoria: Potęgi

W tym dziale znajdziesz najważniejsze reguły ułatwiające liczenie potęg. Pozwolą Ci one znacznie szybciej rozwiązywać zadania na sprawdzianach (np. unikając uciążliwego mnożenia ogromnych liczb!).

1. Podstawowe wzory (Mnożenie, Dzielenie, Potęga Potęgi)

Gdy masz te same podstawy, możesz wykonywać działania na wykładnikach!

Mnożenie: (Dodajemy wykładniki) \(\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

10^{10} \cdot 10^5 = 10^{10+5} = 10^{15}

*Zauważ, że jeśli liczba "stoi sama" (np. \(4\)), to znaczy że jest podniesiona do potęgi pierwszej (\(4^1\)).

Dzielenie: (Odejmujemy wykładniki) \(\displaystyle a^m : a^n = a^{m-n}\)

\left(1\frac{3}{8}\right)^{11} : \left(1\frac{3}{8}\right)^3 = \left(1\frac{3}{8}\right)^{11-3} = \left(1\frac{3}{8}\right)^8

Potęga potęgi: (Mnożymy wykładniki) \(\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

(x^7)^2 = x^{7 \cdot 2} = x^{14}

2. Potęga o wykładniku zero

Złota zasada: Dowolna liczba (poza zerem) podniesiona do potęgi zerowej wynosi 1: \(\displaystyle a^0 = 1\).

Przykład 1:

(-15)^0 = 1\] \[(x^{12})^0 = 1

Przykład 2: BŁĄD ZE ZNAKAMI

Zwróć uwagę na nawiasy!

(-8)^0 = 1 \quad \text{(cała liczba ujemna była w nawiasie)}

-8^0 = -(8^0) = -1 \quad \text{(minus nie jest potęgowany!)}

3. Liczby ujemne podnoszone do potęgi

Złota zasada: Wynik potęgowania liczby ujemnej zależy od wykładnika (potęgi):

Jeśli wykładnik jest parzysty (2, 4, 6...) wynik będzie dodatni.
Jeśli wykładnik jest nieparzysty (3, 5, 11...) wynik będzie ujemny.

Przykład 1: Parzysty wykładnik

(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}

Dwa minusy dają plus (\( \displaystyle -\frac{4}{3} \cdot -\frac{4}{3} = \frac{16}{9} \)).

Przykład 2: Nieparzysty wykładnik

(-1)^{11} = -1

4. Notacja wykładnicza

Złota zasada: Notacja wykładnicza ma postać \(\displaystyle a \cdot 10^n\), gdzie \(a\) musi być liczbą z przedziału \(\displaystyle 1 \le a < 10\) (czyli jedną cyfrą przed przecinkiem z wyjątkiem zera). Zapisuje się tak bardzo małe lub bardzo duże liczby.

Przykład 1: Duże liczby (Przesuwamy przecinek w lewo)

345000 = 3{,}45 \cdot 100000 = 3{,}45 \cdot 10^5

Przykład 2: Małe liczby (Przesuwamy przecinek w prawo, stąd minus w wykładniku)

0{,}000000005 = 5 \cdot 10^{-9}