🚀 Trening 13: Notacja Wykładnicza w Akcji (Iloczyn i Iloraz)
Zapisz w notacji wykładniczej iloczyn (\(a \cdot b\)) oraz iloraz (\(a : b\)) podanych liczb. Zgodnie z życzeniem, na start trochę mniejsze potęgi (mniej zer!), żeby dobrze przećwiczyć sam mechanizm działania na liczbach z przecinkiem.
Zadanie 1
\[ a = 6{,}4 \cdot 10^{-3} \]
\[ b = 8 \cdot 10^{-5} \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 6{,}4 \cdot 8 \cdot 10^{-3 + (-5)} = 51{,}2 \cdot 10^{-8} \]
\[ = 5{,}12 \cdot 10^{-7} \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 6{,}4 : 8 \cdot 10^{-3 - (-5)} = 0{,}8 \cdot 10^2 \]
\[ = 8 \cdot 10^1 \]
Trik: W iloczynie: 51,2 nie jest w notacji, więc przesuwamy przecinek w lewo (zyskujemy +1 do potęgi). W ilorazie: 0,8 to za mało, przesuwamy przecinek w prawo (tracimy 1 z potęgi).
Zadanie 2
\[ a = 4{,}5 \cdot 10^4 \]
\[ b = 9 \cdot 10^2 \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 4{,}5 \cdot 9 \cdot 10^{4+2} = 40{,}5 \cdot 10^6 \]
\[ = 4{,}05 \cdot 10^7 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 4{,}5 : 9 \cdot 10^{4-2} = 0{,}5 \cdot 10^2 \]
\[ = 5 \cdot 10^1 \]
Trik: Pamiętaj: Notacja wymaga liczby od 1 do 9,99... Dlatego 40,5 musimy zapisać jako 4,05, a 0,5 jako 5.
Zadanie 3
\[ a = 1{,}2 \cdot 10^{-2} \]
\[ b = 3 \cdot 10^{-4} \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 1{,}2 \cdot 3 \cdot 10^{-2 + (-4)} = 3{,}6 \cdot 10^{-6} \]
\[ = 3{,}6 \cdot 10^{-6} \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 1{,}2 : 3 \cdot 10^{-2 - (-4)} = 0{,}4 \cdot 10^2 \]
\[ = 4 \cdot 10^1 \]
Trik: Iloczyn był od razu w poprawnej notacji (3,6 mieści się w przedziale). W ilorazie potęga to -2 + 4 = 2, a potem zabieramy 1, by z 0,4 zrobić 4.
Zadanie 4
\[ a = 7{,}2 \cdot 10^5 \]
\[ b = 1{,}2 \cdot 10^3 \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 7{,}2 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{5+3} = 8{,}64 \cdot 10^8 \]
\[ = 8{,}64 \cdot 10^8 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 7{,}2 : 1{,}2 \cdot 10^{5-3} = 6 \cdot 10^2 \]
\[ = 6 \cdot 10^2 \]
Trik: Piękny przykład, w którym zarówno wynik mnożenia (8,64) jak i dzielenia (6) od razu "trafiają" we właściwe widełki notacji wykładniczej!
Zadanie 5
\[ a = 2{,}5 \cdot 10^{-3} \]
\[ b = 5 \cdot 10^2 \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 2{,}5 \cdot 5 \cdot 10^{-3+2} = 12{,}5 \cdot 10^{-1} \]
\[ = 1{,}25 \cdot 10^0 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 2{,}5 : 5 \cdot 10^{-3-2} = 0{,}5 \cdot 10^{-5} \]
\[ = 5 \cdot 10^{-6} \]
Trik: 10^0 to po prostu 1. Często zostawia się taki zapis (albo pisze się samo 1,25), żeby matematycznie wymusić pełną formę notacji.
Zadanie 6
\[ a = 8{,}1 \cdot 10^4 \]
\[ b = 9 \cdot 10^{-2} \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 8{,}1 \cdot 9 \cdot 10^{4 + (-2)} = 72{,}9 \cdot 10^2 \]
\[ = 7{,}29 \cdot 10^3 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 8{,}1 : 9 \cdot 10^{4 - (-2)} = 0{,}9 \cdot 10^6 \]
\[ = 9 \cdot 10^5 \]
Trik: Przy dzieleniu mamy dwa minusy: 4 - (-2) daje 4 + 2 = 6. Z kolei 0,9 \cdot 10^6 staje się 9 \cdot 10^5.
Zadanie 7
\[ a = 1{,}4 \cdot 10^3 \]
\[ b = 7 \cdot 10^4 \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 1{,}4 \cdot 7 \cdot 10^{3+4} = 9{,}8 \cdot 10^7 \]
\[ = 9{,}8 \cdot 10^7 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 1{,}4 : 7 \cdot 10^{3-4} = 0{,}2 \cdot 10^{-1} \]
\[ = 2 \cdot 10^{-2} \]
Trik: W dzieleniu 3 - 4 = -1. Następnie przesunięcie przecinka w 0,2 daje dodatkowe odjęcie 1 od wykładnika (-1 - 1 = -2).
Zadanie 8
\[ a = 3{,}6 \cdot 10^{-4} \]
\[ b = 6 \cdot 10^{-2} \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 3{,}6 \cdot 6 \cdot 10^{-4 + (-2)} = 21{,}6 \cdot 10^{-6} \]
\[ = 2{,}16 \cdot 10^{-5} \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 3{,}6 : 6 \cdot 10^{-4 - (-2)} = 0{,}6 \cdot 10^{-2} \]
\[ = 6 \cdot 10^{-3} \]
Trik: Dużo minusów! W mnożeniu mamy -6, ale przesunięcie 21,6 na 2,16 dodaje 1 do wykładnika, stąd -5.
Zadanie 9
\[ a = 5{,}6 \cdot 10^2 \]
\[ b = 8 \cdot 10^{-3} \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 5{,}6 \cdot 8 \cdot 10^{2 + (-3)} = 44{,}8 \cdot 10^{-1} \]
\[ = 4{,}48 \cdot 10^0 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 5{,}6 : 8 \cdot 10^{2 - (-3)} = 0{,}7 \cdot 10^5 \]
\[ = 7 \cdot 10^4 \]
Trik: W dzieleniu: 2 - (-3) to po prostu 2 + 3 = 5. Zmniejszając 0,7 do 7 (w prawo), zabieramy 1, stąd 10^4.
Zadanie 10
\[ a = 2{,}4 \cdot 10^{-1} \]
\[ b = 4 \cdot 10^3 \]
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn (\(a \cdot b\))
\[ = 2{,}4 \cdot 4 \cdot 10^{-1+3} = 9{,}6 \cdot 10^2 \]
\[ = 9{,}6 \cdot 10^2 \]
Iloraz (\(a : b\))
\[ = 2{,}4 : 4 \cdot 10^{-1-3} = 0{,}6 \cdot 10^{-4} \]
\[ = 6 \cdot 10^{-5} \]
Trik: Idealnie: 9,6 od razu leży w notacji. W dzieleniu po uzyskaniu 0,6 musimy zjechać z potęgą o jeden w dół.