Matematyka - potęgi i pierwiastki

📚 Teoria (Potęgi) 📚 Teoria (Pierwiastki)
Poprzednie Spis zadań Następne

Zadanie 26

Oblicz.

a) \(\sqrt{9^2+7^2+3^2+2^2+1^2}\)

b) \(\left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{216}}{2}-\sqrt{\sqrt[3]{64}}\right)^3\)

c) \(\displaystyle \frac{-3^4-(+3)^4}{6^3}\cdot\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}\)

d) \(\displaystyle \sqrt{\frac{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3}}\)

Rozwiązanie:

Podpunkt a) Najpierw potęgujemy, a następnie dodajemy wszystko pod pierwiastkiem:

\[\sqrt{81+49+9+4+1} = \sqrt{144} = 12\]

Podpunkt b) Rozwiązujemy wyrażenie od samego środka, krok po kroku pozbywając się kolejnych pierwiastków:

\[\sqrt[3]{216} = 6 \implies \frac62 = 3\]
\[\sqrt[3]{64} = 4 \implies \sqrt4 = 2\]

Mamy więc do obliczenia proste wyrażenie:

\[(3-2)^3 = 1^3 = 1\]

Podpunkt c) Należy zwrócić szczególną uwagę na znaki przy potęgowaniu (czy minus znajduje się w nawiasie potęgi, czy przed nim):

\[-3^4 = -(3^4) = -81\]
\[(+3)^4 = 81\]

Licznik ułamka z lewej to \(-81-81 = -162\). Mianownik to \(6^3 = 216\).

\[\frac{-162}{216} = -\frac{3}{4}\]

Z prawej strony zamieniamy ułamek mieszany na niewłaściwy, a następnie wyciągamy z niego pierwiastek sześcienny:

\[\sqrt[3]{2\frac{10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac43\]

Na koniec mnożymy ze sobą oba uzyskane wyniki:

\[-\frac34 \cdot \frac43 = -1\]

Podpunkt d) Liczymy potęgi, a następnie dodajemy je w liczniku oraz mianowniku:

\[\text{Licznik: } 1+8+27+64+125 = 225\]
\[\text{Mianownik: } 225 + 6^3 = 225+216 = 441\]

Następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z uzyskanego ułamka (każdy element osobno) i skracamy do najprostszej postaci:

\[\sqrt{\frac{225}{441}} = \frac{15}{21} = \frac57\]