⚖️ Trening 9: Waga Znaków (Porównywanie)
Ustal, jaki znak: < , = lub > należy wstawić pomiędzy lewą a prawą stroną wyrażenia. Uważaj na potęgę zerową, dodawanie tych samych potęg i znaki minus!
Przykład 1
\[ 4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 \]
...
\[ 4^6 \]
Sprawdź znak
=
\[ 4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 \quad \mathbf{=} \quad 4^6 \]
Wyjaśnienie: Mamy cztery sztuki 4^5, co zapisujemy jako 4 \cdot 4^5. A ponieważ 4 to 4^1, to 4^1 \cdot 4^5 = 4^6. Strony są równe!
Przykład 2
\[ 2^3 + 2^3 \]
...
\[ 2^4 \]
Sprawdź znak
=
\[ 2^3 + 2^3 \quad \mathbf{=} \quad 2^4 \]
Wyjaśnienie: Mamy dwie sztuki 2^3, czyli 2 \cdot 2^3. Zgodnie z zasadą (2^1 \cdot 2^3) dodajemy wykładniki, co daje nam 2^4.
Przykład 3
\[ 3^4 + 3^4 + 3^4 \]
...
\[ 3^5 \]
Sprawdź znak
=
\[ 3^4 + 3^4 + 3^4 \quad \mathbf{=} \quad 3^5 \]
Wyjaśnienie: Trzy razy po 3^4, czyli 3^1 \cdot 3^4 = 3^5.
Przykład 4
\[ 5^2 + 5^2 \]
...
\[ 5^3 \]
Sprawdź znak
<
\[ 5^2 + 5^2 \quad \mathbf{<} \quad 5^3 \]
Wyjaśnienie: Mamy dwie sztuki 5^2 (2 \cdot 25 = 50). Po prawej jest 5^3 = 125. 50 jest mniejsze od 125.
Przykład 5
\[ 2^5 + 2^5 + 2^5 + 2^5 \]
...
\[ 2^7 \]
Sprawdź znak
=
\[ 2^5 + 2^5 + 2^5 + 2^5 \quad \mathbf{=} \quad 2^7 \]
Wyjaśnienie: Cztery sztuki 2^5 to 4 \cdot 2^5. Ale przecież 4 to 2^2! Wobec tego mamy 2^2 \cdot 2^5 = 2^7.
Przykład 6
\[ 10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 \]
...
\[ 10^3 \]
Sprawdź znak
<
\[ 10^2 + 10^2 + 10^2 + 10^2 \quad \mathbf{<} \quad 10^3 \]
Wyjaśnienie: Po lewej 4 \cdot 100 = 400. Po prawej 1000. 400 < 1000.
Przykład 7
\[ 5^4 + 5^4 + 5^4 + 5^4 + 5^4 \]
...
\[ 5^5 \]
Sprawdź znak
=
\[ 5^4 + 5^4 + 5^4 + 5^4 + 5^4 \quad \mathbf{=} \quad 5^5 \]
Wyjaśnienie: Pięć razy 5^4 to po prostu 5^1 \cdot 5^4 = 5^5.
Przykład 8
\[ -15 \cdot (-15)^0 \]
...
\[ -15^0 \]
Sprawdź znak
<
\[ -15 \cdot (-15)^0 \quad \mathbf{<} \quad -15^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: -15 \cdot 1 = -15. Po prawej: brak nawiasu, więc to tylko -(1) = -1. -15 jest mniejsze od -1.
Przykład 9
\[ -7 \cdot (-7)^0 \]
...
\[ (-7)^0 \]
Sprawdź znak
<
\[ -7 \cdot (-7)^0 \quad \mathbf{<} \quad (-7)^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej -7 \cdot 1 = -7. Po prawej 1. Liczba ujemna jest mniejsza od dodatniej.
Przykład 10
\[ (-5)^0 \cdot (-5)^2 \]
...
\[ 5^2 \]
Sprawdź znak
=
\[ (-5)^0 \cdot (-5)^2 \quad \mathbf{=} \quad 5^2 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 1 \cdot 25 = 25. Po prawej: 25.
Przykład 11
\[ -3^0 \cdot (-3)^3 \]
...
\[ 3^3 \]
Sprawdź znak
=
\[ -3^0 \cdot (-3)^3 \quad \mathbf{=} \quad 3^3 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: -1 \cdot (-27) = 27 (dwa minusy dają plus). Po prawej: 27.
Przykład 12
\[ 10 \cdot 10^0 \]
...
\[ 10^2 \]
Sprawdź znak
<
\[ 10 \cdot 10^0 \quad \mathbf{<} \quad 10^2 \]
Wyjaśnienie: Po lewej 10 \cdot 1 = 10. Po prawej 100.
Przykład 13
\[ -1 \cdot (-1)^0 \]
...
\[ -1^0 \]
Sprawdź znak
=
\[ -1 \cdot (-1)^0 \quad \mathbf{=} \quad -1^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: -1 \cdot 1 = -1. Po prawej: brak nawiasu to -(1) = -1. Zatem -1 = -1.
Przykład 14
\[ (-4)^0 \cdot (-4) \]
...
\[ -4^0 \]
Sprawdź znak
<
\[ (-4)^0 \cdot (-4) \quad \mathbf{<} \quad -4^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej 1 \cdot (-4) = -4. Po prawej -1. Odpowiedź to mniejsze.
Przykład 15
\[ -20^0 \]
...
\[ (-20)^0 \]
Sprawdź znak
<
\[ -20^0 \quad \mathbf{<} \quad (-20)^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: brak nawiasu chroniącego minus, więc wynik to -1. Po prawej: nawias obejmuje minus, wynik to 1.
Przykład 16
\[ 8 \cdot 8^0 \]
...
\[ (-8)^0 \]
Sprawdź znak
>
\[ 8 \cdot 8^0 \quad \mathbf{>} \quad (-8)^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej 8 \cdot 1 = 8. Po prawej cokolwiek do potęgi 0 daje 1. 8 > 1.
Przykład 17
\[ (-2)^0 - 0^7 \]
...
\[ -2^0 \]
Sprawdź znak
>
\[ (-2)^0 - 0^7 \quad \mathbf{>} \quad -2^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 1 - 0 = 1. Po prawej: -1. Zatem 1 jest większe.
Przykład 18
\[ (-8)^0 - 8^0 \]
...
\[ 0^{16} \]
Sprawdź znak
=
\[ (-8)^0 - 8^0 \quad \mathbf{=} \quad 0^{16} \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 1 - 1 = 0. Po prawej: 0. Obydwie strony są równe 0.
Przykład 19
\[ 0^5 + (-5)^0 \]
...
\[ -5^0 \]
Sprawdź znak
>
\[ 0^5 + (-5)^0 \quad \mathbf{>} \quad -5^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 0 + 1 = 1. Po prawej -1.
Przykład 20
\[ -10^0 - (-10)^0 \]
...
\[ 0^{10} \]
Sprawdź znak
<
\[ -10^0 - (-10)^0 \quad \mathbf{<} \quad 0^{10} \]
Wyjaśnienie: Po lewej: -1 - 1 = -2. Po prawej: 0. (-2) < 0.
Przykład 21
\[ 0^{100} - (-1)^{100} \]
...
\[ -1^{100} \]
Sprawdź znak
=
\[ 0^{100} - (-1)^{100} \quad \mathbf{=} \quad -1^{100} \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 0 - 1 = -1 (uwaga, parzysta potęga zniszczyła minus pod nawiasem, więc odejmujemy 1). Po prawej: brak nawiasu, czyli -(1) = -1.
Przykład 22
\[ (-1)^0 - (-1)^3 \]
...
\[ 0^5 \]
Sprawdź znak
>
\[ (-1)^0 - (-1)^3 \quad \mathbf{>} \quad 0^5 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 1 - (-1) = 1 + 1 = 2. Po prawej: 0.
Przykład 23
\[ -7^0 + 7^0 \]
...
\[ 0^7 \]
Sprawdź znak
=
\[ -7^0 + 7^0 \quad \mathbf{=} \quad 0^7 \]
Wyjaśnienie: Po lewej -1 + 1 = 0. Po prawej 0.
Przykład 24
\[ (-3)^0 \cdot 0^3 \]
...
\[ -3^0 \]
Sprawdź znak
>
\[ (-3)^0 \cdot 0^3 \quad \mathbf{>} \quad -3^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 1 \cdot 0 = 0. Po prawej: -1. Zero jest większe od liczby ujemnej!
Przykład 25
\[ 2^4 + 2^4 \]
...
\[ 4^2 \]
Sprawdź znak
>
\[ 2^4 + 2^4 \quad \mathbf{>} \quad 4^2 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 16 + 16 = 32. Po prawej: 16.
Przykład 26
\[ 3^2 + 3^2 + 3^2 \]
...
\[ 9^2 \]
Sprawdź znak
<
\[ 3^2 + 3^2 + 3^2 \quad \mathbf{<} \quad 9^2 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 9 + 9 + 9 = 27. Po prawej 81.
Przykład 27
\[ (-1)^5 + (-1)^4 \]
...
\[ 0^{20} \]
Sprawdź znak
=
\[ (-1)^5 + (-1)^4 \quad \mathbf{=} \quad 0^{20} \]
Wyjaśnienie: Po lewej: -1 (potęga nieparzysta) + 1 (potęga parzysta) = 0. Po prawej: 0.
Przykład 28
\[ (-2)^2 + (-2)^0 \]
...
\[ -2^2 + 2^0 \]
Sprawdź znak
>
\[ (-2)^2 + (-2)^0 \quad \mathbf{>} \quad -2^2 + 2^0 \]
Wyjaśnienie: Po lewej: 4 + 1 = 5. Po prawej: -4 + 1 = -3. Pięć jest większe od -3.
Przykład 29
\[ (-1)^{2023} \]
...
\[ -1^{2024} \]
Sprawdź znak
=
\[ (-1)^{2023} \quad \mathbf{=} \quad -1^{2024} \]
Wyjaśnienie: Po lewej potęga nieparzysta: -1. Po prawej brak nawiasu, więc potęgujemy jedynkę i doklejamy minus: -1.
Przykład 30
\[ (-0{,}5)^2 \]
...
\[ -0{,}5^2 \]
Sprawdź znak
>
\[ (-0{,}5)^2 \quad \mathbf{>} \quad -0{,}5^2 \]
Wyjaśnienie: Po lewej wynik będzie dodatni (bo parzysta potęga i nawias). Po prawej wynik ujemny. Liczba dodatnia zawsze wygrywa.