🔥 Trening 26: Boss Finałowy (20 zadań!)
Ten trening to absolutny sprawdzian Twojej wiedzy z potęg i pierwiastków. Przygotuj kartkę, ołówek i zmierz się z dwudziestoma najbardziej rozbudowanymi wyrażeniami. Oblicz i sprawdź wynik!
Zadanie 1 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{9^2 + 7^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 12 \]
Jak to policzyć?
Potęgujemy wszystko pod pierwiastkiem: \(81 + 49 + 9 + 4 + 1 = 144\). \(\sqrt{144} = 12\).
Zadanie 2 z 20
Oblicz:
\[ \left(\frac{\sqrt[3]{216}}{2} - \sqrt{\sqrt[3]{64}}\right)^3 \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 1 \]
Jak to policzyć?
\(\sqrt[3]{216} = 6\), więc ułamek to \(\frac{6}{2} = 3\). \(\sqrt[3]{64} = 4\), a \(\sqrt{4} = 2\). Mamy: \((3 - 2)^3 = 1^3 = 1\).
Zadanie 3 z 20
Oblicz:
\[ \frac{-3^4 - (+3)^4}{6^3} \cdot \sqrt[3]{2\frac{10}{27}} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = -1 \]
Jak to policzyć?
Licznik: \(-81 - 81 = -162\). Mianownik: \(216\). Ułamek: \(\frac{-162}{216} = -\frac{3}{4}\). Pierwiastek: \(\sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}\). Mnożymy: \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1\).
Zadanie 4 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{ \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3}{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3} } \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = \frac{5}{7} \]
Jak to policzyć?
Licznik: \(1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225\). Mianownik: \(225 + 6^3 = 225 + 216 = 441\). Mamy \(\sqrt{\frac{225}{441}} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}\).
Zadanie 5 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{13^2 - 12^2} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 5 \]
Jak to policzyć?
Odejmujemy najpierw: \(169 - 144 = 25\). \(\sqrt{25} = 5\).
Zadanie 6 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt[3]{5^2 + 2} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 3 \]
Jak to policzyć?
Suma pod pierwiastkiem: \(25 + 2 = 27\). \(\sqrt[3]{27} = 3\).
Zadanie 7 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{3^2 + 4^2} + \sqrt[3]{4^2 + 11} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 8 \]
Jak to policzyć?
Pierwszy człon: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Drugi człon: \(\sqrt[3]{16 + 11} = \sqrt[3]{27} = 3\). Suma: \(5 + 3 = 8\).
Zadanie 8 z 20
Oblicz:
\[ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt[3]{-54}}{\sqrt[3]{2}} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 1 \]
Jak to policzyć?
Wrzucamy pod jeden pierwiastek: \(\sqrt{16} + \sqrt[3]{-27} = 4 + (-3) = 1\).
Zadanie 9 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt[3]{1000} \cdot \sqrt{0{,}04} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 2 \]
Jak to policzyć?
\(\sqrt[3]{1000} = 10\). \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\). Mnożymy: \(10 \cdot 0{,}2 = 2\).
Zadanie 10 z 20
Oblicz:
\[ (\sqrt{7})^2 - \sqrt[3]{-8} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 9 \]
Jak to policzyć?
\((\sqrt{7})^2 = 7\). \(\sqrt[3]{-8} = -2\). Odejmujemy: \(7 - (-2) = 7 + 2 = 9\).
Zadanie 11 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{2\frac{1}{4}} \cdot \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 2{,}25 \]
Jak to policzyć?
\(\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). \(\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). \(1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25\).
Zadanie 12 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{10^2 - 8^2} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 6 \]
Jak to policzyć?
\(\sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\). Pamiętaj, nie wolno osobno pierwiastkować dziesiątki i ósemki!
Zadanie 13 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{ \frac{\sqrt{81} + \sqrt{49}}{\sqrt{16}} } \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 2 \]
Jak to policzyć?
Najpierw małe pierwiastki: \(\frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\). Na koniec duży zewnętrzny pierwiastek: \(\sqrt{4} = 2\).
Zadanie 14 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt[3]{ \sqrt{64} + 19 } \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 3 \]
Jak to policzyć?
\(\sqrt{64} = 8\). Pod głównym znakiem mamy \(8 + 19 = 27\). \(\sqrt[3]{27} = 3\).
Zadanie 15 z 20
Oblicz:
\[ \frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{100}} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 1 \]
Jak to policzyć?
Licznik: \(\sqrt{50 \cdot 2} = \sqrt{100} = 10\). Mianownik: \(\sqrt{100} = 10\). Wynik: \(1\).
Zadanie 16 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt[3]{ -125 } \cdot \sqrt{0{,}01} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = -0{,}5 \]
Jak to policzyć?
\(-5 \cdot 0{,}1 = -0{,}5\).
Zadanie 17 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{ \frac{1}{9} } + \sqrt{ \frac{4}{9} } \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 1 \]
Jak to policzyć?
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\).
Zadanie 18 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt[3]{ \frac{27}{8} } : \sqrt{ \frac{9}{16} } \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 2 \]
Jak to policzyć?
\(\frac{3}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2\).
Zadanie 19 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{144} - \sqrt[3]{216} + \sqrt{0} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 6 \]
Jak to policzyć?
\(12 - 6 + 0 = 6\).
Zadanie 20 z 20
Oblicz:
\[ \sqrt{0{,}64} : \sqrt[3]{0{,}008} \]
Pokaż wynik i rozwiązanie
\[ = 4 \]
Jak to policzyć?
\(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). \(\sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2\). \(0{,}8 : 0{,}2 = 4\).