馃殌 Trening 2: W艂asno艣ci Pot臋g
Wykonaj poni偶sze dzia艂ania. Pami臋taj o zasadach mno偶enia (dodajemy wyk艂adniki), dzielenia (odejmujemy wyk艂adniki) oraz pot臋gowania pot臋gi (mno偶ymy wyk艂adniki). Ukryta pot臋ga to zawsze 1!
Przyk艂ad 1
\[ 10^4 \cdot 10^5 \]
\[ 10^{4+5} = 10^9 \]
Wskaz贸wka: Przy mno偶eniu dodajemy wyk艂adniki.
Przyk艂ad 2
\[ 2^7 \cdot 2^3 \]
\[ 2^{7+3} = 2^{10} \]
Wskaz贸wka: Wsp贸lna podstawa (2), wi臋c po prostu dodajemy g贸r臋.
Przyk艂ad 3
\[ 5^2 \cdot 5^8 \]
\[ 5^{2+8} = 5^{10} \]
Wskaz贸wka: Podstawa bez zmian, dodajemy tylko wyk艂adniki.
Przyk艂ad 4
\[ x^3 \cdot x^4 \]
\[ x^{3+4} = x^7 \]
Wskaz贸wka: Zasada dzia艂a tak samo dla liter (niewiadomych).
Przyk艂ad 5
\[ y^6 \cdot y^{11} \]
\[ y^{6+11} = y^{17} \]
Wskaz贸wka: Szybkie dodawanie wyk艂adnik贸w.
Przyk艂ad 6
\[ 3^4 \cdot 3 \]
\[ 3^4 \cdot 3^1 = 3^{4+1} = 3^5 \]
Wskaz贸wka: Pami臋taj: samo 3 to tak naprawd臋 3 do pot臋gi pierwszej!
Przyk艂ad 7
\[ 7 \cdot 7^5 \]
\[ 7^1 \cdot 7^5 = 7^{1+5} = 7^6 \]
Wskaz贸wka: Brak wyk艂adnika zawsze oznacza 1.
Przyk艂ad 8
\[ 10^8 \cdot 10 \cdot 10^2 \]
\[ 10^{8+1+2} = 10^{11} \]
Wskaz贸wka: Zsumuj wszystkie: 8 + 1 (艣rodkowa dziesi膮tka) + 2.
Przyk艂ad 9
\[ x \cdot x^5 \cdot x^3 \]
\[ x^{1+5+3} = x^9 \]
Wskaz贸wka: Pierwszy x ma wyk艂adnik 1.
Przyk艂ad 10
\[ 4^2 \cdot 4^0 \cdot 4 \]
\[ 4^{2+0+1} = 4^3 \]
Wskaz贸wka: Samo 4 to 4^1, a 4^0 to po prostu 1 (wi臋c wyk艂adnik 0 nic nie dodaje do sumy pot臋g).
Przyk艂ad 11
\[ 10^{15} : 10^4 \]
\[ 10^{15-4} = 10^{11} \]
Wskaz贸wka: Przy dzieleniu odejmujemy wyk艂adniki.
Przyk艂ad 12
\[ 8^9 : 8^2 \]
\[ 8^{9-2} = 8^7 \]
Wskaz贸wka: Podstawa zostaje, odejmujemy wyk艂adniki.
Przyk艂ad 13
\[ z^{20} : z^5 \]
\[ z^{20-5} = z^{15} \]
Wskaz贸wka: Zasada identyczna dla liter.
Przyk艂ad 14
\[ 6^{12} : 6 \]
\[ 6^{12-1} = 6^{11} \]
Wskaz贸wka: Pami臋taj o ukrytej jedynce (6 to 6^1).
Przyk艂ad 15
\[ 9^7 : 9^7 \]
\[ 9^{7-7} = 9^0 = 1 \]
Wskaz贸wka: Ka偶da liczba podzielona przez sam膮 siebie daje 1. Wyk艂adnik to 0.
Przyk艂ad 16
\[ \frac{2^{10}}{2^4} \]
\[ 2^{10-4} = 2^6 \]
Wskaz贸wka: Kreska u艂amkowa to znak dzielenia. Wystarczy odj膮膰 g贸r臋 od do艂u.
Przyk艂ad 17
\[ \frac{10^8}{10^7} \]
\[ 10^{8-7} = 10^1 = 10 \]
Wskaz贸wka: Wyk艂adnik 1 mo偶emy pomin膮膰 i zapisa膰 po prostu 10.
Przyk艂ad 18
\[ \frac{x^{15}}{x^2} \]
\[ x^{15-2} = x^{13} \]
Wskaz贸wka: Zwyk艂e odejmowanie na literach.
Przyk艂ad 19
\[ \frac{a^5}{a} \]
\[ a^{5-1} = a^4 \]
Wskaz贸wka: Na dole u艂amka mamy ukryte a^1.
Przyk艂ad 20
\[ \frac{15^{20}}{15^{20}} \]
\[ 15^{20-20} = 15^0 = 1 \]
Wskaz贸wka: Licznik i mianownik s膮 takie same, wi臋c wynik to 1.
Przyk艂ad 21
\[ (5^2)^4 \]
\[ 5^{2 \cdot 4} = 5^8 \]
Wskaz贸wka: Gdy mamy pot臋g臋 wzi臋t膮 do pot臋gi, wyk艂adniki mno偶ymy.
Przyk艂ad 22
\[ (10^3)^5 \]
\[ 10^{3 \cdot 5} = 10^{15} \]
Wskaz贸wka: Mno偶enie wyk艂adnik贸w.
Przyk艂ad 23
\[ (x^7)^2 \]
\[ x^{7 \cdot 2} = x^{14} \]
Wskaz贸wka: Mno偶enie dzia艂a te偶 dla niewiadomych.
Przyk艂ad 24
\[ ((2^3)^2)^4 \]
\[ 2^{3 \cdot 2 \cdot 4} = 2^{24} \]
Wskaz贸wka: Nawet przy kilku nawiasach po prostu mno偶ymy wszystko przez siebie.
Przyk艂ad 25
\[ (7^0)^5 \]
\[ 7^{0 \cdot 5} = 7^0 = 1 \]
Wskaz贸wka: Mno偶enie przez zero daje zero, wi臋c wynik to 1.
Przyk艂ad 26
\[ \left(1\frac{3}{8}\right)^{11} : \left(1\frac{3}{8}\right)^3 \]
\[ \left(1\frac{3}{8}\right)^{11-3} = \left(1\frac{3}{8}\right)^8 \]
Wskaz贸wka: Podstaw膮 jest u艂amek, ale zasada zostaje ta sama - dzielimy, wi臋c odejmujemy wyk艂adniki.
Przyk艂ad 27
\[ \frac{10^5 \cdot 10^6}{10^8} \]
\[ \frac{10^{11}}{10^8} = 10^{11-8} = 10^3 \]
Wskaz贸wka: Najpierw uporz膮dkuj g贸r臋 (dodaj pot臋gi), a potem podziel przez d贸艂 (odejmij).
Przyk艂ad 28
\[ \frac{(x^3)^4}{x^5} \]
\[ \frac{x^{12}}{x^5} = x^{12-5} = x^7 \]
Wskaz贸wka: Najpierw pot臋ga pot臋gi (mno偶ymy), potem dzielenie u艂amka (odejmujemy).
Przyk艂ad 29
\[ (a^2 \cdot a^3)^4 \]
\[ (a^5)^4 = a^{20} \]
Wskaz贸wka: Najpierw 艣rodek nawiasu (dodawanie), a dopiero potem zewn臋trzna pot臋ga (mno偶enie).
Przyk艂ad 30
\[ \frac{2^7 \cdot 2^0 \cdot 2^3}{2^4 \cdot 2^5} \]
\[ \frac{2^{7+0+3}}{2^{4+5}} = \frac{2^{10}}{2^9} = 2^{10-9} = 2^1 = 2 \]
Wskaz贸wka: Pe艂ny pakiet! G贸ra dodana, d贸艂 dodany, na ko艅cu odj臋te od siebie.