W każdym zadaniu oceniamy potrójne nierówności. Musimy zgadnąć, między jakimi liczbami całkowitymi znajduje się podany pierwiastek. Rozwiązanie polega na sprowadzeniu "widełek" (liczb całkowitych) do postaci pierwiastkowej.
Zadanie 1
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 30 < \sqrt[3]{26000} < 31 \]
(prawda / fałsz)
\[ 30 < \sqrt[3]{31000} < 31 \]
(prawda / fałsz)
\[ 30 < \sqrt[3]{28000} < 31 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(30^3 = 27000\) oraz \(31^3 = 29791\). Oznacza to, że \(30 < \sqrt[3]{x} < 31\) jest prawdą tylko dla liczb w przedziale (27000, 29791).
FAŁSZ
\[ 30 < \sqrt[3]{26000} < 31 \]
Bo: 26000 jest mniejsze niż 27000, więc pierwiastek będzie mniejszy niż 30.
FAŁSZ
\[ 30 < \sqrt[3]{31000} < 31 \]
Bo: 31000 jest większe niż 29791, więc pierwiastek przekroczy 31.
PRAWDA
\[ 30 < \sqrt[3]{28000} < 31 \]
Bo: 28000 idealnie mieści się pomiędzy 27000 a 29791.
Zadanie 2
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 10 < \sqrt{115} < 11 \]
(prawda / fałsz)
\[ 10 < \sqrt{95} < 11 \]
(prawda / fałsz)
\[ 10 < \sqrt{125} < 11 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(10^2 = 100\) oraz \(11^2 = 121\). Szukamy liczby \(x\) z przedziału (100, 121).
PRAWDA
\[ 10 < \sqrt{115} < 11 \]
Bo: 115 jest pomiędzy 100 a 121.
FAŁSZ
\[ 10 < \sqrt{95} < 11 \]
Bo: 95 to za mało (jest mniejsze od 100).
FAŁSZ
\[ 10 < \sqrt{125} < 11 \]
Bo: 125 to za dużo (jest większe od 121).
Zadanie 3
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 4 < \sqrt[3]{70} < 5 \]
(prawda / fałsz)
\[ 4 < \sqrt[3]{130} < 5 \]
(prawda / fałsz)
\[ 4 < \sqrt[3]{50} < 5 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(4^3 = 64\) oraz \(5^3 = 125\). Szukamy liczby z przedziału (64, 125).
PRAWDA
\[ 4 < \sqrt[3]{70} < 5 \]
Bo: 70 znajduje się między 64 a 125.
FAŁSZ
\[ 4 < \sqrt[3]{130} < 5 \]
Bo: 130 przekracza 125, więc wynik jest większy niż 5.
FAŁSZ
\[ 4 < \sqrt[3]{50} < 5 \]
Bo: 50 jest mniejsze od 64, więc wynik jest poniżej 4.
Zadanie 4
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 20 < \sqrt{390} < 21 \]
(prawda / fałsz)
\[ 20 < \sqrt{420} < 21 \]
(prawda / fałsz)
\[ 20 < \sqrt{450} < 21 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(20^2 = 400\) oraz \(21^2 = 441\). Szukamy liczby z przedziału (400, 441).
FAŁSZ
\[ 20 < \sqrt{390} < 21 \]
Bo: 390 jest mniejsze od 400 (wynik to nieco mniej niż 20).
PRAWDA
\[ 20 < \sqrt{420} < 21 \]
Bo: 420 leży dokładnie w przedziale.
FAŁSZ
\[ 20 < \sqrt{450} < 21 \]
Bo: 450 jest większe od 441.
Zadanie 5
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 5 < \sqrt[3]{220} < 6 \]
(prawda / fałsz)
\[ 5 < \sqrt[3]{110} < 6 \]
(prawda / fałsz)
\[ 5 < \sqrt[3]{150} < 6 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(5^3 = 125\) oraz \(6^3 = 216\). Szukamy liczby z przedziału (125, 216).
FAŁSZ
\[ 5 < \sqrt[3]{220} < 6 \]
Bo: 220 to trochę za dużo, przekracza 216.
FAŁSZ
\[ 5 < \sqrt[3]{110} < 6 \]
Bo: 110 to mniej niż 125.
PRAWDA
\[ 5 < \sqrt[3]{150} < 6 \]
Bo: 150 leży bezpiecznie między 125 a 216.
Zadanie 6
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 15 < \sqrt{240} < 16 \]
(prawda / fałsz)
\[ 15 < \sqrt{260} < 16 \]
(prawda / fałsz)
\[ 15 < \sqrt{200} < 16 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(15^2 = 225\) oraz \(16^2 = 256\). Szukamy liczby z przedziału (225, 256).
PRAWDA
\[ 15 < \sqrt{240} < 16 \]
Bo: 240 znajduje się pomiędzy kwadratami.
FAŁSZ
\[ 15 < \sqrt{260} < 16 \]
Bo: 260 to więcej niż 256.
FAŁSZ
\[ 15 < \sqrt{200} < 16 \]
Bo: 200 to mniej niż 225.
Zadanie 7
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 10 < \sqrt[3]{1500} < 11 \]
(prawda / fałsz)
\[ 10 < \sqrt[3]{1200} < 11 \]
(prawda / fałsz)
\[ 10 < \sqrt[3]{900} < 11 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(10^3 = 1000\) oraz \(11^3 = 1331\). Szukamy liczby z przedziału (1000, 1331).
FAŁSZ
\[ 10 < \sqrt[3]{1500} < 11 \]
Bo: 1500 bardzo mocno przekracza barierę 1331.
PRAWDA
\[ 10 < \sqrt[3]{1200} < 11 \]
Bo: 1200 pasuje idealnie do widełek.
FAŁSZ
\[ 10 < \sqrt[3]{900} < 11 \]
Bo: 900 jest mniejsze niż dolna granica 1000.
Zadanie 8
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 9 < \sqrt{70} < 10 \]
(prawda / fałsz)
\[ 9 < \sqrt{110} < 10 \]
(prawda / fałsz)
\[ 9 < \sqrt{90} < 10 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(9^2 = 81\) oraz \(10^2 = 100\). Szukamy liczby z przedziału (81, 100).
FAŁSZ
\[ 9 < \sqrt{70} < 10 \]
Bo: 70 jest mniejsze niż 81.
FAŁSZ
\[ 9 < \sqrt{110} < 10 \]
Bo: 110 jest większe od 100 (zatem wyjdzie ponad 10).
PRAWDA
\[ 9 < \sqrt{90} < 10 \]
Bo: 90 znajduje się perfekcyjnie pośrodku.
Zadanie 9
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 6 < \sqrt[3]{300} < 7 \]
(prawda / fałsz)
\[ 6 < \sqrt[3]{350} < 7 \]
(prawda / fałsz)
\[ 6 < \sqrt[3]{200} < 7 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(6^3 = 216\) oraz \(7^3 = 343\). Szukamy liczby z przedziału (216, 343).
PRAWDA
\[ 6 < \sqrt[3]{300} < 7 \]
Bo: 300 jest pomiędzy 216 a 343.
FAŁSZ
\[ 6 < \sqrt[3]{350} < 7 \]
Bo: 350 delikatnie przekracza 343, więc wynik to ok. 7,05.
FAŁSZ
\[ 6 < \sqrt[3]{200} < 7 \]
Bo: 200 to mniej niż 216.
Zadanie 10
Oceń prawdziwość poniższych nierówności:
\[ 40 < \sqrt{1500} < 41 \]
(prawda / fałsz)
\[ 40 < \sqrt{1700} < 41 \]
(prawda / fałsz)
\[ 40 < \sqrt{1650} < 41 \]
(prawda / fałsz)
Klucz do rozwiązania: Sprawdzamy: \(40^2 = 1600\) oraz \(41^2 = 1681\). Szukamy liczby z przedziału (1600, 1681).